古今数学思想第四册 目录

古今数学思想第四册 内容简介

本书是《古今数学思想》丛书中第四册，本书论述了从古代一直到20世纪头几十年中的重大数学创造和发展，目的是介绍中心思想，特别着重于那些在数学历史的主要时期中逐渐冒出来并成为*突出的、并且对于促进和形成尔后的数学活动有影响的主流工作。本书所极度关心的还有：对数学本身的看法，不同时期中这种看法的改变，以及数学家对于他们自己的成就的理解。

古今数学思想第四册 节选

大约在1800年前后，数学家们开始关心分析的庞大分支在概念和证明中的不严密性。函数概念本身就是不清楚的；使用级数而不考虑它们的收敛和发散已经产生了悖论和不同意见的争论；关于用三角级数来表示函数的论战进一步引起了混乱；当然，导数和积分的基本概念还从来没有恰当地定义过。所有这些困难*终导致人们对分析的逻辑状况的不满。 Abel在1826年给Christoffer Hansteen教授的一封信中抱怨说：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究过它，真是奇怪。*坏的是，从来没有严格地对待过分析。在高等分析中只有很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的。人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方法只导致了极少几个所谓的悖论。” 一些数学家决心从这种混沌中整理出一个秩序来。常被人们称为批判运动的领导者们决心把分析只在算术概念的基础上重新建立起来。这个运动的开端正好是非欧几何的创立时期。一个完全不同的集体，除了Gauss外卷入了这后一活动，因而要追溯这个活动和把分析奠定在算术基础上的决心之间的任何直接联系是困难的。这种决心的出现大概是由于企图把分析奠基于几何之上的希望——17世纪的许多数学家断言这种希望是能够实现的——但因在18世纪分析发展中日益增长的复杂性而导致破灭。不过Gauss早在1799年就已表示了他对欧氏几何真理性的怀疑，而且在1817年他就认定真理只存在于算术之中。此外，甚至在Gauss和其他作者关于非欧几何的早期著作中就注意到欧氏几何发展中的缺陷。因此很可能就是这两个因素造成了对几何的不信任而决心把分析奠基础在算术概念之上。这无疑是批判运动的领导者们要着手去做的事。