内容简介

本书以初等函数为重点，介绍了微积分相关的内容，包括微分、积分、无穷级数、傅里叶展开和勒贝格积分等9章内容. 作者采用讲义式的叙述方式，把数学看成有生命的东西，让读者有一种别样的新鲜感.

本书是一本经典的微积分教材，原版被日本各大学普遍采用，适合数学专业及其他各理工科专业高年级本科生和低年级研究生用作教材或参考书.

作品目录

第1 章 基本概念 1

1 数的概念 1

2 数的连续性 2

3 数的集合 上确界 下确界 3

4 数列的极限 5

5 区间套法 9

6 收敛条件与柯西判别法 11

7 聚点 13

8 函数 16

9 关于连续变量的极限 20

10 连续函数 23

11 连续函数的性质 26

12 区域 边界 28

习题 32

第2 章 微分 34

13 微分与导函数 34

14 微分法则 36

15 复合函数的微分 38

16 反函数的微分法则 41

17 指数函数和对数函数 45

18 导函数的性质 47

19 高阶微分法则 51

20 凸函数 52

21 偏微分 53

22 可微性与全微分 55

23 微分的顺序 56

24 高阶全微分 59

25 泰勒公式 61

26 极大极小 67

27 切线和曲率 74

习题 85

第3 章 积分 88

28 古代求积方法 88

29 微分发明之后的求积方法 90

30 定积分 93

31 定积分的性质 99

32 积分函数, 原函数 102

33 积分定义扩展(广义积分) 106

34 积分变量的变换 114

35 乘积的积分(分部积分或分式积分) 116

36 勒让德球函数 123

37 不定积分计算 126

38 定积分的近似计算 130

39 有界变差函数 133

40 曲线的长度 136

41 线积分 141

习题 144

第4 章 无穷级数与一致收敛 148

42 无穷级数 148

43 绝对收敛和条件收敛 149

44 绝对收敛的判别法 153

45 条件收敛的判别法 157

46 一致收敛 159

47 无穷级数的微分和积分 162

48 关于连续变量的一致收敛, 积分符号下的微分和积分 167

49 二重数列 177

50 二重级数 179

51 无穷积 184

52 幂级数 188

53 指数函数和三角函数 196

54 指数函数和三角函数的关系,对数函数和反三角函数 201

习题 207

第5 章 解析函数及初等函数 209

55 解析函数 209

56 积分 212

57 柯西积分定理 217

58 柯西积分公式, 解析函数的泰勒展开 222

59 解析函数的孤立奇点 226

60 z = 1 处的解析函数 230

61 整函数 231

62 定积分计算(实变量) 232

63 解析延拓 238

64 指数函数和三角函数 241

65 对数ln z 和一般幂z? 249

66 有理函数的积分理论 254

67 二次平方根的不定积分 258

68 ? 函数 260

69 斯特林公式 270

习题 276

第6 章 傅里叶展开 282

70 傅里叶级数 282

71 正交函数系 283

72 任意函数系的正交化 284

73 正交函数列表示的傅里叶展开 286

74 傅里叶级数累加平均求和法(费耶定理) 289

75 光滑周期函数的傅里叶展开 291

76 非连续函数的情况 292

77 傅里叶级数的例子 295

78 魏尔斯特拉斯定理 298

79 积分第二中值定理 301

80 关于傅里叶级数的狄利克雷{若尔当条件 303

81 傅里叶积分公式 306

习题 308

第7 章 微分续篇(隐函数) 309

82 隐函数 309

83 反函数 314

84 映射 317

85 对解析函数的应用 321

86 曲线方程 326

87 曲面方程 331

88 包络线 334

89 隐函数的极值 336

习题 339

第8 章 多变量积分 342

90 二元以上的定积分 342

91 面积的定义和体积的定义343

92 一般区域上的积分 348

93 化简成一元积分 351

94 积分意义的扩展(广义积分) 357

95 多变量定积分表示的函数 364

96 变量变换 366

97 曲面面积 377

98 曲线坐标(体积、曲面积和弧长等的变形) 384

99 正交坐标 391

100 面积分 395

101 向量记号 397

102 高斯定理 399

103 斯托克斯定理 406

104 全微分条件 409

习题 413

第9 章 勒贝格积分 416

105 集合运算 416

106 加法集合类(? 系) 419

107 M 函数 420

108 集合的测度 424

109 积分 427

110 积分的性质 430

111 可加集合函数 438

112 绝对连续性和奇异性 441

113 欧式空间和区间的体积 444

114 勒贝格测度 446

115 零集合 451

116 开集合和闭集合 453

117 博雷尔集合 456

118 积分表示的集合测度 458

119 累次积分 463

120 与黎曼积分的比较 464

121 斯蒂尔切斯积分 466

122 微分定义 468

123 Vitali 覆盖定理 470

124 可加集合函数的微分 472

125 不定积分的微分 476

126 有界变差和绝对连续的点函数 477

附录I 无理数论 480

1 有理数分割 480

2 实数的大小 481

3 实数的连续性 482

4 加法 483

5 绝对值 485

6 极限 485

7 乘法 486

8 幂和幂根 488

9 实数集合的一个性质 488

10 复数 489

附录II 若干特殊曲线 491