数学的统一性-教辅教材-文化科教-太极之巅书单号

书刊介绍

作品目录

代数拓扑在数学中的作用
数学的变迁和进展
如何进行研究
大范围几何学
纯粹数学的历史走向
数学的统一性
什么是几何
阿蒂亚访问记
我的数学工作
20世纪80年代的分析和几何
数学与计算机革命
鉴别数学进步之我见
物理对几何的影响
附录
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精彩摘录

公理是为了把一类问题孤立出来，然后去发展解决这类问题的技巧而提炼出来的。一些人认为公理是用来界定一个自我封闭的完整的数学领域的。我认为这是错的。公理的范围越窄，你舍弃得就越多。当你在数学中进行抽象化时，你把你想要研究的与你认为无关的东西分离开，这样做在一段时期里是方便的，它使思维集中。但是通过定义，舍弃了宣布你认为不感兴趣的东西，而从长远看来，你丢掉了很多根芽。如果你用公理化方法做了些东西，那么在一定阶段后你应该再回到它的来源处，在那儿进行同花和异花受精，这样是健康的。

——引自第105页

只重视形式的数学研究屑于这样一种行为：你用某种聪明的技巧得到了正确的结果，接着就继续往前，并不过多的担忧其严格与否，对严格性持后会有期的态度。现在你可能会问：什么是严格性？一些人把严格定义为"rigormortis",相信伴随纯粹数学而来的，是对那些知道如何得到正确答案的人的活动的抑制。我想，我们必须再次记住数学是人类的一种活动。我们的目标不仅是要发现些什么，而且要把信息传下去。有些人，比如欧拉，他们知道如何写出一个发散级数又得到正确的答案，他们对该做什么和不该做什么必定具有某种非凡的感觉。欧拉从大量的经验中获得了某种直觉，而直觉是很难传达给别人的。下一代人并不知道他的结果是怎么得出来的。严格的数学论证的作用正在于使得本来是主管的，极度依赖个人直觉的事物，变得具有某种客观性并能够加以传递。我完全不想拒绝这类直觉带来的好处，只是强调为了能向其他人传播，所获得的发现最终应以如下方式表述：清晰明确，毫不含糊，能被并无开创者那种洞察力的人所理解。

——引自第35页