作品目录

第1章 集合与映射
§1．1 集合
§1．2 集合运算及几个逻辑符号
§1．3 映射
§1．4 映射的乘积(或复合)
§1．5 可数集
§1．6 习题
§1．7 补充教材一：关于自然数集合
§1．8 补充教材二：基数的比较
§1．9 补充习题
进一步阅读的参考文献
第2章 实数与复数
§2．1 实数的四则运算
§2．2 实数的大小次序
§2．3 实数域的完备性
§2．4 复数
§2．5 习题
§2．6 补充教材一：整数环z与有理数域Q的构筑
§2．7 补充教材二：实数域R的构筑
进一步阅读的参考文献
第3章 极限
§3．1 序列的极限
§3．2 序列极限的存在条件
§3．3 级数
§3．4 正项级数收敛性的判别法
§3．5 幂级数
§3．6 函数的极限
§3．7 习题
进一步阅读的参考文献
第4章 连续函数类和其他函数类
§4．1 连续函数的定义及其局部性质
§4．2 (有界)闭区间上连续函数的整体性质
§4．3 单调连续函数及其反函数
§4．4 函数列的一致收敛性
§4．5 习题
§4．6 补充教材：半连续函数及阶梯函数
进一步阅读的参考文献
第5章 一元微分学
§5．1 导数和微分
§5．2 导数与微分的运算规则
§5．3 可微函数的整体性质及其应用
§5．4 高阶导数，高阶微分及Taylor公式
§5．5 Taylor级数
§5．6 凸函数
§5．7 几个常用的不等式
§5．8 习题
§5．9 补充教材一：关于可微函数的整体性质
§5．10 补充教材二：一维线性振动的数学表述
5．10．1 谐振子
5．10．2 阻尼振动
5．10．3 强迫振动
进一步阅读的参考文献
第6章 一元函数的Riemann积分
§6．1 Riemann积分的定义
§6．2 RJemann积分的简单性质
§6．3 微积分学基本定理
§6．4 积分的计算
§6．5 有理函数的积分
§6．6 可以化为有理函数积分的积分
§6．7 反常积分
§6．8 积分在几何学，力学与物理学中的应用
6．8．1 定向区间的可加函数
6．8．2 曲线的弧长
6．8．3 功
§6．9 习题
§6．10 补充教材一：关于Newton—Leibniz公式成立的条件
§6．11 补充教材二：stielt：ies积分
§6．12 补充教材三：单摆的平面运动和椭圆函数
6．12．1 一维的非线性振动的例：单摆的平面运动
6．12．2 描述单摆平面运动的椭圆函数
§6．13 补充教材四：上、下积分的定义
进一步阅读的参考文献
参考文献
名词索引
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精彩摘录

同学们也许觉得，把空集也看做集合有些别扭。但正如把0看作数会有利于数学的发展一样，空集看作集合会给我们带来许多方便

——引自第3页

Newton早于Leibniz得到这个结果,但没有立即发表它.Leibniz在与物理学家Huygens为一件外交事务交往时,在一个短得难于置信的时间内学到了微分与积分这种新的数学概念,不久,他独立于Newton而获得了这个结果,并立即发表了它.事后,崇拜Newton的人与Leibniz的朋友之间发生了激烈的争执,前者毫无根据地指责Leibniz剽窃.后来卷入这场争执的人愈来愈多,成了英国科学家和欧洲大陆科学家之间的争执,历时竟达二百年.这样的争执对科学的发展是毫无意义的.事实上,一个结果之所以重要是因为它跟许多重要的科学分支有联系,因此不同的人从不同的问题出发,经历不同的道路,得到同一个重要的结果在人类文明史上是屡见不鲜的.我们中国人早就认识到这一规律,称它为“殊途同归”.这场由崇拜Newton的英国人首先挑起的二百年的争执给英国数学造成的伤害是严重的.有许多数学史的著作介绍这段历史.当然,这个问题的讨论已远远超出本讲义的范围了.我们只摘录20世纪的美国数学家NobertWiener于1949年写下的下面这段耐人寻味的话,因为它很客观地总结了科学史上这场悲剧的深刻教训:毋容置疑,Leibniz的工作晚于Newton,但他是独立于Newton而工作的,Leibniz的符号远优于Newton.不幸,两位发明者的朋友和同事,爱国心切,忠于友情,但不分青红皂白,错误地挑起了一场争端,其影响至今尚未肃清.特别,使用不那么灵活的Newton的符号,藐视欧洲大陆Leibniz学派的工作,竟成为英国数学家爱国和忠于信仰的表现.这使得到了18世纪,欧洲大陆上出现Bernoulli,Euler,Lagrange和Laplace这样的数学家的时候,英吉利海峡北面的岛上没有一个人的才华是可以与他们相提...

——引自第267页