内容简介

这是一本专门讲述伽罗瓦理论的教材。内容包括伽罗瓦理论基本定理和多项式方程的根式可解性、伽罗瓦群的计算及其反问题，《伽罗瓦理论：天才的激情》强调通过伽罗瓦对应，可将代数数域中的问题转化成群论的问题加以解决。作为这种思想的应用，证明了代数基本定理，解决了e和的超越性及尺规作图的四大古代难题。为方便读者查阅，附录中详细梳理了所要用到的群、环、域方面的结论。每节配有充足的习题并包含提示。

《伽罗瓦理论：天才的激情》可作为高等学校数学类各专业的教材，也可供其他相关专业参考。

作品目录

序言

前言

§0. 伽罗瓦理论概述

§1. 有限伽罗瓦扩张

1.1 伽罗瓦对应

1.2 阿廷引理 10

1.3 戴德金无关性引理 12

1.4 有限伽罗瓦扩张 14

习题 15

§2. 伽罗瓦理论基本定理 17

2.1 表述及意义 17

2.2 证明 19

2.3 注记与例子 21

2.4 代数基本定理 26

习题 27

§3. 伽罗瓦群的计算 29

3.1 伽罗瓦的原始思想 29

3.2 判别式 32

3.3 4 次方程 34

.3.4 纯粹方程 36

3.5 分圆域 38

3.6 素数次对称群 39

3.7 布饶尔的构造 40

习题 42

§4. 一般方程的伽罗瓦群 45

4.1 一般方程 45

4.2 伽罗瓦反问题 47

习题 49

§5. 方程根式可解的伽罗瓦大定理 51

5.1 历史背景及表述 51

5.2 充分性的证明 54

5.3 必要性的证明 55

5.4 3 次方程求根公式 57

5.5 4 次方程求根公式 59

习题 61

§6. 模 p 法 63

6.1 有理函数域 63

6.2 模 p 法 65

6.3 对称群 68

习题 70

§7. e 和 π 的超越性 71

7.1 林德曼–魏尔斯特拉斯定理 71

7.2 证明 73

7.3 公开问题 77

习题 77

§8. 尺规作图问题 79

8.1 几何定义与代数描述 79

8.2 三大古典难题 84

8.3 可构数的另一判定法 85

8.4 正 n 边形的尺规作图 86

习题 87

§9. 附录 i: 所需群和环中的结论 89

9.1 有限群中若干结论 89

9.2 有限阿贝尔群 93

9.3 可解群 94

9.4 对称多项式基本定理 95

9.5 唯一因子分解整环上的多项式环 97

9.6 中国剩余定理 98

§10. 附录 ii: 域论摘要 101

10.1 域扩张的基本概念 101

10.2 分裂域和同构延拓定理. 104

10.3 有限域 107

10.4 可分扩张和正规扩张 108

10.5 单位根与分圆多项式 111

10.6 狄利克雷素数定理的特例 115

参考文献 119

中英文名词索引 121