图解数学数学法-让抽象的数学直观起来 节选

40年来，我一直有一个愿望——“要写一本这样的书”，今天终于
如愿以偿了。
这个念头*初萌芽于我19岁刚上大学的时候。当时，我怎么也听不
懂数学课，我想：“大概是我太笨了，脑子好使的人应该早就听懂了。”
不过，好歹我也考上了东京大学，还算是个高材生，经过努力，终
于跟上了课程的进度。但是，我心里还是不舒服，觉得有些地方没彻底
弄明白。“为什么心里觉得不舒服呢?”我想来想去，终于明白了。原来
我会解数学题，却不了解数学的本质。
意识到这个问题以后，我就很想买一本清楚地揭示数学本质的书。
但是，找来找去也找不到。*后，我觉悟到只能靠自己的头脑去理解和
揣摩数学的本质。
从此以后，我开始了艰苦的征途。我像一只筋疲力尽的狗，流着大
汗，汪汪哀号，为探究数学的本质而战斗。即使成了机械工程学方面的
专家，这种状况也没有改变。直到60岁即将退休的时候，我才稍微有了
点自信，觉得自己总算把握了数学的本质。
可是，或许什么时候我两眼一闭，辛苦得来的成果就会被带进棺材
里去。所以我决定，等到退休后有了时间，一定要将我的心得写成一本
书。我一直在为此努力。2001年，我退休了，终于写成了这本书。
这本好不容易才得以面世的书，是写给下面这些人的：
1．数学很差，但想学好的人，特别是想尽早找到窍门的人。
2．刚开始学数学的高中生，希望进行深入思考、理解数学的本质。
3．学过数学，现在已经进入社会、参加工作的人，虽然工作中不一
定要用到数学。
4．至今还没有厌倦数学的人。
5．正在学习数学的大学生。
6．教授数学或是工程技术的老师。
7．希望把握数学本质的人。
本书和普通的数学书完全不同。它讲的是高等数学，但不是教科书，
不会教你怎么解数学题。所以，不要把它当成考大学的参考书。不过，我
保证读了这本书，你就能轻松地把握数学的本质。
抓不住思想和概念的本质，就像是穿着借来的衣服，总觉得不舒服。
在本书中，我尝试挖掘出数学中隐藏着的思想和概念。书中的讲解不是
停留在表面上，而是追根究底，挖掘出上位概念。只有理解了上位概念，
才能真正理解。把握了概念的本质，获得了直观的感受，才不会一知半
解、糊里糊涂。
数学学习中*大的问题，是很多人对数学产生了厌倦情绪。高中分
为文科、理科，有些人就是因为不想学数学而选择了文科。
但是，数学真的那么招人厌吗?的确，现在这种教学方法，让人无
法不讨厌数学。为什么昵?很简单，因为学生们没有真正理解数学。
用填鸭式的教学方式向学生灌输知识，学生不厌倦才怪。没人想去
理解自己讨厌的东西。因此，理解也就变得遥不可及。
数学中有很多定义、定理。老师会解释这些定义、定理的证明过程，
这本来没有错。但是，很多学生觉得证明过程和自己无关。为什么呢?
因为学生觉得自己和老师身在两个世界里，老师们在数学的抽象世界里，
自己则在现实世界中。老师们觉得理所当然的事，在现实世界中却显得
不可理喻。找不到两个世界的交集点，就无法相互沟通。
但是，等等。其实我们的日常生活和数学的抽象世界是紧密相连的。
例如，微分、积分和产业界紧密相关。生产量与社会整体活动成比例增
长的机械制造业被称为“微分型产业”；现有生产量决定商业规模大小的
维修业被称为“积分型产业”。
也就是说，数学老师只进行了抽象的解释，却没有向我们指明从现
实世界进入抽象世界的路径。数学本来是人人都懂的东西。只要把日常
生活和抽象世界紧紧联系起来，就能理解数学。
那么，怎样才算“理解”呢?理解就是外界的事物和头脑中原有的
“模板”相符合。在本书*后的“Q＆A”中我们还要详细谈到这个问题，
请大家留意。总之，外界事物和头脑中的模板完全吻合，人们就觉得自
己理解了这一事物。也就是说，理解是大脑中瞬间发生的、对对象的确
认动作。换句话说，理解是一种直观感受。
有些人思想顽固，认为直观地理解是不科学的，这些人没有认真地
思考什么是理解。我认为，要弄清楚什么是理解，必须参考脑科学的研
究成果。脑科学研究证明，理解时，在大脑中浮现出事物的形象十分重
要。从一个平面上来理解数学是不行的。数学是三维，甚至是多维的立
体事物。本书中的每一章，都揭示了这个多维体的一个侧面。我的目标
是把“难懂的数学”变成“易懂的数学”，再从“易懂的数学”变成“可
以运用的数学”。理解了数学却不能运用，也是毫无意义的。
*后，在进入正文之前，我想谈一谈本书的出版经过。2001年3月
我从东京大学退休，*后一节课上讲道：“我想变成蝉。”30多年来，我
一直埋首于大学这片“土壤”中，研究和教授工程学，过得很充实。但
是，退休以后我却想像蝉一样爬出地面，在众人面前大声发表自己的言
论。我想把自己一直以来的所思所想拿出来与大家分享。那节课结束时，
我说：“从今以后，我要专心著书，比如我构思了40年的数学书。从今
天开始，我正式退休了，我一定要写成这本书。”
岩波书店编辑部的永沼浩一听了我的*后一堂课，他一直记住了我
的话。一年以后，他打电话来问：“老师，那本书写得怎么样了?”于是，
我们一拍即合，决定出这本书。我退休后一直在工学院大学工作，我对
学生们说：“我要写一本书，你们愿意帮忙吗?”学生们很高兴地答应了。
于是，我把他们叫来，开了一个“烟村数学私塾”。每月不少于1次，每
次上3个小时的课，坚持了几十次。他们向我倾诉了对数学的不满以及
存在的疑问。永沼先生旁听并记录了我们讨论的主要内容。他还为我写
了草稿，建议我采用合适的形式表达自己的想法。由于他的帮忙，这本
书才得以完成。我向永沼先生表示深深的谢意。
另外，还要感谢长尾高明老师在百忙之中认真读完了我的书稿，提
出了恳切的意见。
就这样，本书面世了。除了这本书，我还想写一系列书，主要是针
对工科和理科的，如热力学、复变函数论、矢量张量、振动学等。全部
完成大概要花上二三十年，我得好好利用有限的时间，争取多活几年了。
希望这本书能带给读者一些启发，从新颖有趣的角度来思考问题。
如果能这样的话，我将万分欣慰。
烟村洋太郎
虚数不是幽灵
用过一次复数后就再也合不得放手，虚数用起来就是这么方便。现
在我们试着推想一下这个了不起的工具是怎么被发明出来的。复数的发
明者是18世纪欧洲的大数学家高斯。
在这之前，先回忆一下教科书上是怎么解释虚数和复数的。教科书
上这样写着：
满足一元二次方程式x2=一l的实数实际上不存在。于是我们用i来表
示这个平方后为一1的数字。i叫做虚数单位。实数a，b和虚数单位i组成的
数字a+bi叫做复数。a叫做复数的实部。b叫做复数的虚部。
这个解释中令人费解的是，为什么要去解方程X2-一1呢?一般来说，
这个方程式是不可解的。我们自然而然地就会认为没有必要去考虑不可
解的方程式。
但是，教科书的编写者们完全没有意识到读者会有这样天真的疑问，
他们完全没有想过读教科书的高中生会怎么想。他们按照数学家的思路
去思考问题，因此才能若无其事地写下来常人看来异想天开的话。于是
数学书看起来就像天书，让人忍不住要对他们大吼一声：“多少也要配合
一下读者吧!”
牢骚先发到这里。思考常人看起来无解的问题是数学的宿命。
*早开始认真思考方程式X2--一1的，是17世纪的意大利学者。他们
不希望存在无解的方程式。于是，创造出一个无法确认是否存在的数字，
讨论是不是有了这个数字，问题就能解决。他们创造出来的这个数，就
是虚数i。
虚数是一个想象出来的数字，它寄托了数学家们的愿望——有了这
个数字，一切问题就能迎刃而解。
听了这些，也许有人会想，数学原来是骗人的啊。说骗人可能有点
过分，但是像这种随心所欲的创造在数学中确实存在。不过，虽说是随
心所欲，但只要能够成立，数学就承认它。
人们常说“数学是理论的世界”，即使是天马行空的奇想，只要能自
圆其说，数学就会承认。
上升到哲学高度讨论这个凭空创造出来的虚数i，是法国哲学家笛卡
儿。他给这个数起了个名字叫Imaginary Number，并思考这个数的存在
性。我们使用的“虚数”这个名字，就是从这里翻译过来的。
可是，译成“虚数”后，很多人就因为这个名字觉得虚数是“幽灵
一样的数”。
看到“虚”字，现代人就会想到“撒谎”、“骗人”等，带着偏见来
理解它，这其实是极大的误解。只有排除这种偏见的影响，不带主观色
彩，虚心钻研，才能了解虚数是什么。
想理解虚数，就不能认为看不见的就等于无。请看下面的图。一扇
屏风上画着一只老虎。可是，从屏风正上方垂直或是从侧面看，都看不
见老虎。
我们把从屏风正上方垂直看和从侧面看到的面叫做“实面”，从屏风
正前方看到的面叫做“虚面”。 虚数就如同屏风上的老虎。从现象的“虚面”看就能看到虚数。不
能认为看不见就等于无，因为你没有发现现象的“虚面”，所以看不见虚
数。这样想，就能发现虚数。虚数真是奇妙的数。
不好意思，讨论到这里变得有点像参禅悟道了。现在，如果你能联
一想到刚才有线圈的图，那你真是感觉敏锐。我们比较一下屏风的图和线
圈的图。

图解数学数学法-让抽象的数学直观起来 本书特色

数学学习法
让抽象的数学直观起来
没有照本宣科的枯燥理论，没有令人费解的逻辑推
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图解数学数学法-让抽象的数学直观起来 作者简介

烟村洋太郎
日本东京大学工学博士，曾任
日本工学院大学国际基础工学教
授，目前为日本东京大学名誉教
授。主