无法解出的方程-天才与对称 节选

自从高中时代我就被埃瓦利斯特·伽罗瓦吸引。一个
20岁的人能创造一门令人激动的新的数学分支，这一事实
成为我真正的灵感之源。然而，到我大学快毕业时，那个
浪漫的法国年轻人也已经让我深感挫折：当认识到自己23
岁时仍然没有完成任何可与之比拟的事情时，你会做何
想?由伽罗瓦引入的概念——群论——今天已经被视为所
有对称性的“正宗”语言。而且，自从对称性从视觉艺术
和音乐学渗透到心理学和自然科学中，它的重要性就不言
而喻了。
直接或间接对本书有所贡献的人员名单完全可以列好
几页。这里，我只能提一些人，没有他们的帮助，我就很
难完成手稿。感谢弗里曼·戴森、罗嫩·普勒瑟、纳丹·
赛伯格、斯蒂文·温伯格和埃德·威腾，他们谈到了对称
性在物理学中的作用；迈克尔·阿蒂亚爵士、彼得·纽
曼、约瑟夫·罗特曼、罗恩·所罗门，特别是希勒尔·高
赫曼，他们总体上为数学，特别为伽罗瓦理论提供了他们
的真知灼见和批评性意见；约翰·奥康纳和艾德蒙·罗伯
特森提供了数学史方面的帮助；西蒙·康维·莫丽丝和大卫·派利特在
有关进化和进化心理学的主题上为我指出了正确的方向；我与艾伦·维
纳广泛地讨论了创造力主题；菲利普·查普蓝、让一鲍尔·奥弗雷、诺
伯特·威德尔为我提供了关于伽罗瓦的宝贵材料和信息；维克托·利维
奥特帮助我理解了伽罗瓦的验尸报告；史蒂芬洛·柯瑞兹、卡尔拉·卡
奇亚里和蕾蒂西亚·斯堂何里尼提供了关于博洛尼亚数学家的有用信
息；同样地，艾玛诺·比安科尼圣提供了圣色波克罗数学家的信息；劳
拉·加布利诺、莉维亚·加卡蒂和弗兰科·帕斯宙恩向我提供了数学史
的基本材料；帕特利加·莫斯卡特利和比安卡斯特拉·安托尼奥提供了
来自博洛尼亚大学图书馆的重要文献；如同扬格瓦尔·雷切尔特所做的
那样，亚理德·斯塔布豪格帮助我理解了尼尔斯·阿贝尔生活的一些方
面，并且提供了重要的文献。
我特别感谢帕特里克·高登、维克托·利维奥特和伯尔纳德·利维
奥特帮助翻译了法语材料；感谢托迈·威克林德和席勒莎·威格尔特帮
助翻译了挪威语材料；感谢史蒂芬洛·卡瑟塔诺、尼诺·潘拿加和玛西
摩·斯蒂亚维里帮助翻译了意大利语和拉丁语材料；伊丽莎白·弗雷瑟
和莎拉·斯蒂汶斯一雷伯恩为我提供了宝贵的目录和语言帮助；如果没
有沙龙·图兰熟练的准备工作和科利斯塔·威尔德特的绘图，书稿就无
法付诸印刷。
研究和写作这样一本书给我的家庭生活带来了不可避免的负担。没
有我的妻子苏菲和我的孩子沙龙、奥仁和玛亚的不断支持和无尽耐心，
很难想像我能完成本书。我希望母亲道罗茜·利维奥会喜欢这本有关对
称性的书，她的生活一直并仍将以音乐为中心。
*后，我诚挚地感谢代理商苏桑·雷宾纳所做的令人难以置信的工
作和给予我的鼓励；感谢西蒙＆舒斯特公司的编辑鲍勃·本德尔的敬
业和百般支持；感谢约翰娜·李、罗勒塔·登纳、维克托利亚·迈耶和
西蒙&舒斯特的整个团队在出版和宣传本书方面所给予的帮助。

第三章
在你的方程式中永远不要忘记这一点
1931年2月16日在加利福尼亚技术学院所做的题为“科学与幸福”
的演讲中，阿尔伯特·爱因斯坦谈到：“对于人类自身及其命运的关注
组成了所有技术努力的主要目标…为了使我们大脑的创造对人类是一
种福祉而非灾祸。在你的图中和方程式中永远不要忘记这一点。”甚至
连爱因斯坦本人都未能料到，这个警告性预言怎么就于不足十年后，在
第二次世界大战的黑暗日子中和大屠杀的恐怖中成为现实。不过，在历
史上数学方程式的出现的确只是为了造福人类。解出**个方程式的人
只打算处理日常琐事。
“US”与“AHA”
在公元前4000年的一段时期，在底格里斯河与幼发拉底河之间的
美索不达米亚地区兴起了**批苏美尔城邦。在这个地区发现的几乎50
万块楔形文字泥板和其他考古文物讲述了一个拥有有组织的农业、迷人
的建筑、震荡的政治以及充满文化气息的社会的故事。后来，像今天一
样，这块肥沃的土地容易受到各方侵扰，从而造成人口的频繁变更。在
衰落后几个世纪，在阿卡德国王萨尔贡一世(Sargon I，公元前2276～
2221)之前，闪米特-3摩利人占领了苏美尔的土地，并且在商业城市
巴比伦建立了他们的首都。因此，在大约公元前2000年到公元前600
年之间，整个地区的文明一般指“巴比伦文明”。巴比伦社会的快速发
展需要供应品和商品分配的大量记录。为了商业交易，为了涉及土地分
割的农业工程，为了决策，也为了计算根据的需要，巴比伦人*后发展
了当时*复杂的数学。楔形文字泥板的核心内容证明，巴比伦人不仅掌
握了许多算术运算，他们实际上还期望更先进的代数。既然方程对于群
论的历史是*相关的部分，那么这里我将只聚焦于“方程”的出现。我
把单词“方程”加引号的原因是，巴比伦人并没有真正地使用了和我们
今天相同的代数方程概念。相反地，他们在普通的谈话中从修辞上陈述
问题和解决问题。换句话说，恰当的口头说明解决了一个又一个的问
题，但是未曾见到模式或公式成为解决问题的一般程序。
毫无疑问，这些数学问题首先出现在如分割许多土地这样的社会所
需要的文章中。甚至当不涉及测量时，对于要解决的未知量人们所使用
的单词是us(长度)，sag(宽度)和asa(面积)。
人们可以用公式表示的*简单的方程是所谓的线性方程(当作图
时，以直线代表它们)。在现代符号中，线性方程是类似2x+3=7的方
程，其中x代表未知数。解一个方程就是要找一个使方程正确的x值
(在上面的例子中，既然2×2+3—7，那么解是x一2)。几个泥板包括
了需要用线性方程解决的问题。
有时为了找到答案，人们需要解两个未知数。例如，假设1／4的宽
加长等于7手(长度单位)，而且长加宽等于10手，那么在这个问题里
宽和长的值是要求的。运用我们在学校里学到的代数知识，如果我们以
工表示长度，以了表示宽度，那么这个问题就可以转化为由两线性方程
组成的方程组：1／4yq-x一7，x+y一10。巴比伦人正确地指出，一个6
手的长度(或30手指，1手等于5手指)和一个4手(20手指)的宽度
满足这两个方程(在附录2中，我为感兴趣的读者提供了一个简要的提
示，告诉读者如何解这样的方程组)。
线性方程在古埃及甚至起着更杰出的作用。显然巴比伦人发现它们
太基本了，所以不值得详细记载。我们的许多埃及知识源自迷人的阿米
斯纸草书。这本巨大的纸草书(大约18英尺长)目前保存在大不列颠
博物馆中(在布鲁克林博物馆的一本医学论文集中出人意料地发现该
书，只是有几处残破)。苏格兰埃及古物学者亚里山大·亨利·林德
(Alexander Henry Rhind)
于1858年购得该纸草
书，该纸草书随后经常
被称为林德手卷(图
34)。根据书记官阿米斯
(Ahmes)自己的证言，
他大约在公元前1650年
从写于更早几百年(在
第十二王朝法老阿蒙涅
斯三世统治时期)的原
始文献中抄写了该纸草
书。英国科学家达西·
汤普森(D'Arcy Thomp—
son)将该纸草书描述为
“古代学问博物馆之
一”，该纸草书包括了
87个问题。这些问题之
前是分解的“处方”表
和绪论。绪论有点夸张地将该文献描述成“通往所有存在事物和所有模
糊且秘密的知识入口”。另一方面，阿米斯提出和解决的问题，多是处
理从公平分割面包到金字塔斜坡的各种实际问题。未知数称为aha，意
思是“堆”。

无法解出的方程-天才与对称 本书特色

约翰·塞巴斯蒂安·巴赫的音乐、自然界的
基本力、魔方、配偶的选择有无共通之处?它们
共同的特点是都具有某种对称性。对称性概念为
科学和艺术之间、理论物理世界和我们日常生活
的世界之间架起了桥梁。然而关于对称的“语言”
——数学中的群论——却产生于*意想不到的来
源：一种无法解出的方程式。
几千年来，在遇到现在所说的五次方程之前，
数学家已经逐渐解决了越来越困难的代数方程。
但几个世纪过去了，五次方程仍然没有解，*后，
两个数学天才彼此独立地发现了它不能用通常的
方法解出，群论由此产生。这两个年轻的天才是
挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔和法国数学家
埃瓦利斯特·伽罗瓦，他们*后都悲剧性地死去。
事实上，伽罗瓦(时年20岁)在他致命的决斗前
夕，草草地记录了他的证明的另一份简要总结，
笔记本的边上有一句话：“我没有时间。”
无法解出的方程的故事是一本关于
才华横溢的数学家的故事，也叙述了数
学如何为其他学科添光增彩。在这本栩栩
如生、曲折动人的书中，马里奥·利维奥
以一种容易被人接受的方式展示了，群
论是如何解释自然界和人造世界的对称
性和秩序的。