本书是作者在清华大学数学科学系(1987-2003)及北京大学数学科学学院(2003-2009)给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的. 一方面, 作者力求以近代数学(集合论, 拓扑, 测度论, 微分流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识, 以使同学尽早熟悉 近代数学文献中的表述方式. 另一方面在篇幅允许的范围内, 作者尽可能地介绍数学分析与其他学科(特别是物理学)的联系, 以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉. 全书分为三册. 第一册包括:集合与映射, 实数与复数, 极限, 连续函数类, 一元微分学和一元函数的Riemann积分; 第二册包括:点集拓扑初步, 多元微分学, 测度和积分; 第三册包括:Fourier分析初步, 广义函数, 复分析, 微分流形, 重线性代数, 微分形式和流形上的积分学. 每章都配有丰富的习题, 它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外, 也介绍了许多补充知识.
本书是清华大学数学科学系、北京大学数学学院多届本科生使用的数学分析讲义。内容新颖,选材与国外数学分析教材接轨。用以培养高素质的数学人才。
第7章点集拓判、初步
7.1拓扑空间
7.2连续映射
7.3度量空间
7.4拓扑子空间,拓扑空间的积和拓扑空间的商
7.5完备度量空间
7.6紧空间
7.7Stone-Weierstrass逼近定理
7.8连通空间
7.9习题
7.10补充教材:Urysohn引理
进一步阅读的参考文献
第8章多元微分学
8.1微分和导数
8.2中值定理
8.3方向导数和偏导数;
8.4高阶偏导数与Taylor公式
8.5反函数定理与隐函数定理
8.6单位分解
8.7一次微分形式与线积分
.8.7.1一次微分形式与它的回拉
8.7.2一次微分形式的线积分
8.8习题
8.9补充教材一:线性赋范空间上的微分学及变分法初步
8.9.1线性赋范空间上的重线性映射
8.9.2连续重线性映射空间
8.9.3映射的微分
8.9.4有限增量定理
8.9.5映射的偏导数
8.9.6高阶导数
8.9.7Taylor公式
8.9.8变分法初步
8.9.9无限维空间的隐函数定理
8.10补充教材二:经典力学中的Hamilton原理
8.10.1Lagrange方程组和最小作用量原理
8.10.2Hamilton方程组和Hamilton原理
进一步阅读的参考文献
第9章测度
9.1可加集函数
9.2集函数的可数可加性
9.3外测度
9.4构造测度
9.5度量外测度
9.6Lebesgue不可测集的存在性
9.7习题
进一步阅读的参考文献
第10章积分;
10.1可测函数
10.2积分的定义及其初等性质
10.3积分号与极限号的交换
10.4Lebesgue积分与Riemann积分的比较
10.5Fubini-Tonelli定理
10.6Jagobi矩阵与换元公式
10.7Lebesgue函数空间
10.7.1Lp空间的定义
10.7.2Lp空间的完备性
10.7.3Hanner不等式
10.7.4Lp的对偶空间
10.7.5Radon-Nikodym定理
10.7.6Hilbert空间
10.7.7关于微积分学基本定理
10.8次微分形式的面积分
10.8.1一次微分形式的外微分
10.8.2次微分形式和平面的定向
10.8.3次微分形式的回拉和积分
10.8.4三维空间的二次微分形式
10.8.5平面上的Green公式
10.9习题
进一步阅读的参考文献
参考文献
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