内容简介

本书是作者在清华大学数学科学系(1987-2003)及北京大学数学科学学院(2003-2009)给本科生讲授数学分析课的讲稿的基础上编成的. 一方面, 作者力求以近代数学(集合论, 拓扑, 测度论, 微分流形和微分形式)的语言来介绍数学分析的基本知识, 以使同学尽早熟悉 近代数学文献中的表述方式. 另一方面在篇幅允许的范围内, 作者尽可能地介绍数学分析与其他学科(特别是物理学)的联系, 以使同学理解自然现象一直是数学发展的重要源泉. 全书分为三册. 第一册包括：集合与映射, 实数与复数, 极限, 连续函数类, 一元微分学和一元函数的Riemann积分; 第二册包括：点集拓扑初步, 多元微分学, 测度和积分; 第三册包括：Fourier分析初步, 广义函数, 复分析, 微分流形, 重线性代数, 微分形式和流形上的积分学. 每章都配有丰富的习题, 它除了提供同学训练和熟悉正文中的内容外, 也介绍了许多补充知识.

本书是清华大学数学科学系、北京大学数学学院多届本科生使用的数学分析讲义。内容新颖，选材与国外数学分析教材接轨。用以培养高素质的数学人才。

作品目录

第7章点集拓判、初步

7.1拓扑空间

7.2连续映射

7.3度量空间

7.4拓扑子空间，拓扑空间的积和拓扑空间的商

7.5完备度量空间

7.6紧空间

7.7Stone-Weierstrass逼近定理

7.8连通空间

7.9习题

7.10补充教材：Urysohn引理

进一步阅读的参考文献

第8章多元微分学

8.1微分和导数

8.2中值定理

8.3方向导数和偏导数；

8.4高阶偏导数与Taylor公式

8.5反函数定理与隐函数定理

8.6单位分解

8.7一次微分形式与线积分

.8.7.1一次微分形式与它的回拉

8.7.2一次微分形式的线积分

8.8习题

8.9补充教材一：线性赋范空间上的微分学及变分法初步

8.9.1线性赋范空间上的重线性映射

8.9.2连续重线性映射空间

8.9.3映射的微分

8.9.4有限增量定理

8.9.5映射的偏导数

8.9.6高阶导数

8.9.7Taylor公式

8.9.8变分法初步

8.9.9无限维空间的隐函数定理

8.10补充教材二：经典力学中的Hamilton原理

8.10.1Lagrange方程组和最小作用量原理

8.10.2Hamilton方程组和Hamilton原理

进一步阅读的参考文献

第9章测度

9.1可加集函数

9.2集函数的可数可加性

9.3外测度

9.4构造测度

9.5度量外测度

9.6Lebesgue不可测集的存在性

9.7习题

进一步阅读的参考文献

第10章积分；

10.1可测函数

10.2积分的定义及其初等性质

10.3积分号与极限号的交换

10.4Lebesgue积分与Riemann积分的比较

10.5Fubini-Tonelli定理

10.6Jagobi矩阵与换元公式

10.7Lebesgue函数空间

10.7.1Lp空间的定义

10.7.2Lp空间的完备性

10.7.3Hanner不等式

10.7.4Lp的对偶空间

10.7.5Radon-Nikodym定理

10.7.6Hilbert空间

10.7.7关于微积分学基本定理

10.8次微分形式的面积分

10.8.1一次微分形式的外微分

10.8.2次微分形式和平面的定向

10.8.3次微分形式的回拉和积分

10.8.4三维空间的二次微分形式

10.8.5平面上的Green公式

10.9习题

进一步阅读的参考文献

参考文献

名词索引