内容简介

“无穷小分析”这一名称是由欧拉创始的，这正是数学中“分析”一支名称的起源。本书作者所在的布尔巴基学派对20世纪的法国数学教学改革作出了重要的贡献，但也出现了一些消极影响，例如倡导独立子传统数学的所谓“新数学”；也有过只重视理论。而忽略计算的倾向。本书是作者为纠正这些偏向而设置的课程编写的。在本书所讲的无穷小计算中。使用不等式要比使用等式多得多，而且可用三个词作为本书的提要：求上界、求下界、逼近。作者希望读者通过学习本书。不是只学会一些无穷小分析中运算的机械程序，而是还懂得有关“直观”的概念。

《无穷小计算》包含函数与映射的逼近及渐近展开式、复查解析函数的基础、一阶与二阶线性微分方程的近似解法与稳定性以及贝寡尔函数等。书中有不少新意。并附有相当数量的优秀习题。

《无穷小计算》可供大学数学专业师生选教，选学。也可供广大数学工作者和相关专业人员参考。

作品目录

《法兰西数学精品译丛》序

序

记号

预篇

1.集与函数

2.实数与复数

3.单实变连续函数

4.导数与原函数概念的推广

5.平面拓扑

第一章求上界，求下界

1.初等运算

2.级数与极限

3.中值定理

4.柯西—施瓦茨不等式

习题

第二章方程的根的逼近

1.问题的地位

2.试位法

3.用迭代法解x=g(x)

.4.牛顿法

附录多项式根的分离法

习题

第三章渐近展开式

1.导言

2.比较函数

3.比较关系式

4.比较关系式的计算

5.占中阶的关系

6.渐近展开式

7.渐近展开式的计算

8.隐函数的渐近展开式

9.反常积分的收敛性

10.原函数的渐近展开式

11.级数的收敛性与部分和的渐近展开式

附录牛顿多边形与皮瑟展开式

习题

第四章含一个参变数的积分

1.导言

2.拉普拉斯法

3.欧拉积分

4.平稳相位法

习题

第五章一致逼近

1.两函数的偏差

2.一致收敛与简单收敛

3.一致收敛序列的性质

4.正规化

5.魏尔斯特拉斯逼近定理

附录伯恩斯坦多项式

习题

第六章解析函数

1.泰勒级数

2.幂级数

3.孤立零点原理

4.幂级数代入另一幂级数

5.解析函数

6.解析函数的导数与原函数

7.解析开拓原理

8.解析函数的实例

9.最大模原理

习题

第七章柯西定理

1.道路与环路

2.沿道路的积分

3.解析函数的原函数问题

4.道路的同伦与环路的同伦.单连通区域

5.柯西定理

6.点关于环路的指标

7.柯西公式

8.柯西不等式.刘维尔定理

9.柯西条件

10.魏尔斯特拉斯收敛定理

习题

第八章解析函数的奇点.留数

1.解析开拓与奇点

2.孤立奇点：洛朗级数

3.解析函数在孤立奇点的邻域中的研究

4.留数定理

5.留数定理对计算积分的应用

6.留数定理对解方程的应用

7.解析函数的反演：i局部问题

8.解析函数的反演：ii整体问题

9.对数函数

10.对计算积分的应用

11.对无穷乘积的应用

习题

第九章解析函数对逼近问题的应用

1.鞍点法

2.鞍点法应用的实例

3.欧拉展开式

4.复域中的伽马函数

5.伯努利数与多项式

6.伯努利多项式的三角展开式

7.欧拉—麦克劳林公式

8.傅里叶级数与用三角多项式的逼近

9.平均平方逼近与傅里叶级数

10.傅里叶系数与正规性质

附录龙格现象

习题

第十章保形表示

1.保形映射的特性

2.保形表示问题

3.分式线性变换

4.保形表示的实例

5.施瓦茨—克里斯托费尔变换

6.对称原理

7.椭圆函数与保形表示

习题

第十一章微分方程

1.解与近似解

2.近似解的比较

3.柯西—利普希茨方法

4.对微分方程组与高阶微分方程的推广

5.复域中的微分方程

6.解与初始条件和参变量的相关性

习题

第十二章线性微分方程

1.线性微分方程的解的存在域

2.实域中线性微分方程组的预解矩阵

3.常系数线性微分方程

4.周期系数线性微分方程组

5.复域中线性微分方程

习题

第十三章线性微分方程组的摄动

1.微分方程的解的稳定性

2.与线性方程相接近方程的解的稳定性

3.条件稳定性

4.两变数自治系统的临界点

习题

第十四章二阶线性微分方程

1.主要问题

2.一般性质

3.刘维尔变换

4.解的渐近展开式

5.对复数域的推广

6.含一个参变数的二阶方程

7.振动定理与比较定理

8.边值条件

9.周期系数二阶线性方程

习题

第十五章贝塞尔函数

1.用含一个参变数的积分解线性微分方程

2.汉克尔函数

3.汉克尔函数的解析开拓与渐近展开式

4.贝塞尔函数与诺伊曼函数

5.整数指标的贝塞尔函数

习题

索引

参考文献

主要公式

译后记