计算机引起的数学哲学反思 目录

计算机引起的数学哲学反思 内容简介

《计算机引起的数学哲学反思》共分为五章，具体内容如下：**章回顾了计算工具的演变，特别是由于科学技术的发展而促使电子计算机的产生。叙述了计算机功能从数值计算到定理证明和数学实验的变化，提供计算机变革传统数学研究方式——一张纸、一支笔和几本参考书的资料。第二章考察了计算机在数学应用中的两个具体案例：四色猜想的计算机证明和分形几何的建立。从人们对它们的争议：计算机是否可靠？计算机证明是不是数学证明？计算机是否要变革数学研究方式？分形几何是不是数学？指出其背后隐含的实质是人们的数学观，即数学的性质是什么。第三章面对数学家关于计算机引起的数学中新生事物的褒贬，作者肯定计算机变革数学研究方式的意义，并从两个方面加以说明。一方面加速了数学的发展：不仅开辟了数学机械化的新领域，还扩大了数学研究的领域；另一方面揭示了隐藏在计算机中的算法与公理法的辩证关系，为第五章论述数学的性质埋下伏笔。第四章是关于吴方法①引起的对中国传统数学的反思。吴方法的成功不仅表明中国古代数学的算法化、机械化特色对于数学发展的意义，也为人们认识数学算法化与演绎性的辩证统一的性质提供了证据。第五章通过考察数学哲学史上人们对数学性质的各种观点，并引用一些数学大师对数学性质的经验性与演绎性的论述，首先肯定数学性质的两重性，然后论述经验性与演绎性的辩证关系，从而阐明数学本质上是二者辩证统一的观点。

计算机引起的数学哲学反思 节选

《计算机引起的数学哲学反思》：第三节 作为数学实验的工具数学与自然科学的*大区别是数学里没有实验。在公众中，几乎没有人能够意识到这其实是一个错误的认识。然而事实上，数学中实验的历史却与数学本身一样悠久。从中学到大学，我们学习的大部分概念（定义、公理、定理）都是经过几代人的观察、试验和归纳发现的，这种概念的来源方式显然与自然科学中的知识来源是相类似的。例如，毕达哥拉斯定理、三角形三内角和定理等都是数学实验的产物。大数学家高斯（Johann Carl Friedric hGauss，1777-1855）就声称自己获得数学真理的方法是“通过系统的实验”，实际上对于其他的很多数学家也一样。数学的进展都是始于对例子的实验，可是长期以来，数学中的实验成分由于数学家工作的文化环境——数学的*终成果都要以证明定理的形式出现，所以证明之前的实验（试验）过程就被掩盖起来。数学研究对象的特殊性决定了其成果的*终检验不同于自然科学中成果的检验，它的定理不能用实验证实，而必须用逻辑演绎推理证明，所以逻辑证明成为数学研究的一个*大的特点。但是，数学家在发现、证明定理之前，总是要经历一个探索、试验的阶段，即通过对大量的计算和推理进行试探或试验，使个别实例上升为一般猜想，然后再探索证明的思路。这其中当然可能要经过一次又一次的反驳或者是遇到反例，*后才获得逻辑上的证明。显然，数学家做出*后证明之前的工作是具有实验性的活动，因此称证明之前的活动为数学实验是非常合理的。数学实验不同于自然科学中的实验。前者是一种思想实验，而后者是一种实物实验。虽然两种实验的形式不同，但在本质上是一样的（从功能来看）。“数学家们一直都在做实验。他们心不在焉地乱写乱画，不停地尝试各种例子。这是数学之单调乏味的一部分。变化了的是实验的规模。过去数学家们可能花几个小时乃至几天进行演算的领域，在今天则可能要花费数月乃至数年”①。是的，计算机技术的发展扩大了数学实验的规模，现在有越来越多的数学家用计算机作为实验工具。数学实验的提出不仅会促进数学的发展，作为一种实验形式，也是科学实验的一种补充。计算机作为计算工具，大家没有疑义。然而作为数学实验工具、定理证明工具，却使大部分人都感到惊疑。首先，人们惊讶数学里竟然有实验，实验向来是专属于自然科学的。其次，人们怀疑计算机执行实验和定理证明的可靠性。但是无论如何，数学界已经有相当一部分人把计算机作为数学研究的实验工具，也有相当一部分人在用计算机证明数学定理，特别地，他们还用计算机发明新的数学定理。在《新潮数学》中有这样的描述：“新一代的数学家们正向定理与证明这种古老的传统发起挑战。新潮数学家们更喜欢在计算机上使思想不受约束地进行实验。但是保守传统的人担心他们会失去一些特别的东西。”“是计算机导致了这种令人不安的转变。由一代数学家们发明却被其后的一代当作玩具而抛弃的这种方便的算法执行器现在又来困扰当代数学家们了。通过给予数学家们在自己的办公桌上进行几十亿次复杂计算的能力，计算机已经酝酿出了进行数学研究的一种全新的研究手段，即人们所知的实验数学，”“实验数学家和大多数其他的科学家一样通过归纳的方法，而不是通过逐步演绎出证明的方法来获取知识。所不同的是，别的科学家们设计针对现实世界的各个部分的实验，而新一代数学家们则通过搜寻只存在于计算机中的抽象世界的图案来进行实验。在过去，一项数学研究的成果将是一篇关于命题的证明或反驳的科学论文，现在它却可以包含一些色彩鲜艳的图案和一声充满快乐的惊呼：'看，我发现了什么！'”……