内容简介

本书是作者在莫斯科大学力学数学系多遍讲授数学分析课程的基础上写成的，自1981年第1版出版以来，到2015年已经修订、增补至第7版。作者加强了分析学、代数学和几何学等现代数学课程之间的联系，重点关注一般数学中最有本质意义的概念和方法，采用适当接近现代数学文献的语言进行叙述，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，也尽量体现数学在自然科学中的各种应用。

全书共两卷，第二卷内容包括：连续映射的一般理论、赋范空间中的微分学、重积分、中的曲面和微分形式、曲线积分与曲面积分、向量分析与场论、微分形式在流形上的积分、级数和含参变量的函数族的一致收敛性和基本运算、含参变量的积分、傅里叶级数与傅里叶变换、渐近展开式。

与常见的数学分析教材相比，本卷内容相当新颖，系统地引进了现代数学（包括泛函分析、拓扑学和现代微分几何等）的基本概念、思想和方法，用微分形式语言对基本积分公式的叙述特别具有参考价值，有关应用的内容也更加贴近现代自然科学。

本书观点较高，内容丰富新颖，所选习题极具特色，是教材理论部分的有益补充。本书可作为综合大学和师范大学数学、物理、力学及相关专业的教师和学生的教材或主要参考书，也可供工科大学应用数学专业的教师和学生参考使用。

作品目录

《俄罗斯数学教材选译》序
中文版序言
再版序言
第1版序言
*第九章 连续映射(一般理论)
§1. 度量空间
1. 定义和实例
2. 度量空间的开子集和闭子集
3. 度量空间的子空间
4. 度量空间的直积
习题
§2. 拓扑空间
1. 基本定义
2. 拓扑空间的子空间
3. 拓扑空间的直积
习题
§3. 紧集
1. 紧集的定义和一般性质
2. 度量紧集
习题
§4. 连通的拓扑空间
习题
§5. 完备度量空间
1. 基本定义和实例
2. 度量空间的完备化
习题
§6. 拓扑空间的连续映射
1. 映射的极限
2. 连续映射
习题
§7. 压缩映射原理
习题
*第十章 更一般观点下的微分学(一般理论)
§1. 线性赋范空间
1. 数学分析中线性空间的实例
2. 线性空间中的范数
3. 向量空间中的标量积
习题
§2. 线性算子和多重线性算子
1. 定义和实例
2. 算子的范数
3. 连续算子空间
习题
§3. 映射的微分
1. 在一点可微的映射
2. 一般的微分法则
3. 某些实例
4. 映射的偏导数
习题
§4. 有限增量定理及其应用实例
1. 有限增量定理
2. 有限增量定理的应用实例
习题
§5. 高阶导映射
1. n 阶微分的定义
2. 沿向量的导数和n 阶微分的计算
3. 高阶微分的对称性
4. 附注
习题
§6. 泰勒公式和极值研究
1. 映射的泰勒公式
2. 内部极值研究
3. 实例
习题
§7. 一般的隐函数定理
习题
第十一章 重积分
§1. n 维区间上的黎曼积分
1. 积分的定义
2. 黎曼可积函数的勒贝格准则
3. 达布准则
习题
§2. 集合上的积分
1. 容许集
2. 集合上的积分
3. 容许集的测度(体积)
习题
§3. 积分的一般性质
1. 积分是线性泛函
2. 积分的可加性
3. 积分的估计
习题
§4. 重积分化为累次积分
1. 富比尼定理
2. 一些推论
习题
§5. 重积分中的变量代换
1. 问题的提出和变量代换公式的启发式推导
2. 可测集和光滑映射
3. 一维情况
4. Rn中最简微分同胚的情况
5. 映射的复合与变量代换公式
6. 积分的可加性和积分中变量代换公式的最终证明
7. 重积分中变量代换公式的一些推论和推广
习题
§6. 反常重积分
1. 基本定义
2. 反常积分收敛性的比较检验法
3. 反常积分中的变量代换
习题
第十二章 Rn中的曲面和微分形式
§1. Rn中的曲面
习题
§2. 曲面的定向
习题
§3. 曲面的边界及边界的定向
1. 带边曲面
2. 曲面定向与边界定向的相容性
习题
§4. 欧氏空间中曲面的面积
习题
§5. 微分形式的初步知识
1. 微分形式的定义和实例
2. 微分形式的坐标记法
3. 外微分形式
4. 向量和微分形式在映射下的转移
5. 曲面上的微分形式
习题
第十三章 曲线积分与曲面积分
§1. 微分形式的积分
1. 原始问题、启发性思考和实例
2. 微分形式在定向曲面上的积分的定义
习题
§2. 体形式, 第一类积分与第二类积分
1. 物质面的质量
2. 曲面面积是微分形式的积分
3. 体形式
4.体形式在笛卡儿坐标下的表达式
5. 第一类积分与第二类积分
习题
§3. 数学分析的基本积分公式
1. 格林公式
2. 高斯–奥斯特洛格拉德斯基公式
3. R3 中的斯托克斯公式
4. 一般的斯托克斯公式
习题
第十四章 向量分析与场论初步
§1. 向量分析的微分运算
1. 标量场与向量场
2. R3 中的向量场与各种形式
3. 微分算子grad,rot, div 和∇
4. 向量分析的一些微分公式
*5. 曲线坐标下的向量运算
习题
§2. 场论的积分公式
1. 用向量表示的经典积分公式
2. div, rot, grad 的物理解释
3. 后续的某些积分公式
习题
§3. 势场
1. 向量场的势
2. 势场的必要条件
3. 向量场是势场的准则
4. 区域的拓扑结构与势
5. 向量势, 恰当微分形式与闭微分形式
习题
§4. 应用实例
1. 热传导方程
2. 连续性方程
3. 连续介质动力学基本方程
4. 波动方程
习题
*第十五章 微分形式在流形上的积分
§1. 线性代数回顾
1. 形式代数
2. 斜对称形式代数
3. 线性空间的线性映射和对偶空间的对偶映射
习题
§2. 流形
1. 流形的定义
2. 光滑流形与光滑映射
3. 流形及其边界的定向
4. 单位分解和流形在Rn 中的曲面形式
习题
§3. 微分形式及其在流形上的积分
1. 流形在一个点的切空间
2. 流形上的微分形式
3. 外微分
4. 微分形式在流形上的积分
5. 斯托克斯公式
习题
§4. 流形上的闭微分形式和恰当微分形式
1. 庞加莱定理
2. 同调与上同调
习题
第十六章 一致收敛性、函数项级数与函数族的基本运算
§1. 逐点收敛性与一致收敛性
1. 逐点收敛性
2. 基本问题的提法
3. 依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性
4. 一致收敛性的柯西准则
习题
§2. 函数项级数的一致收敛性
1. 级数一致收敛性的基本定义和判别准则
2. 级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯检验法
3. 阿贝尔–狄利克雷检验法
习题
§3. 极限函数的函数性质
1. 问题的具体提法
2. 两个极限运算可交换的条件
3. 连续性与极限运算
4. 积分运算与极限运算
5. 微分运算与极限运算
习题
*§4. 连续函数空间的紧子集和稠密子集
1. 阿尔泽拉–阿斯柯利定理
2. 度量空间C(K,Y )
3. 斯通定理
习题
第十七章 含参变量的积分
§1. 含参变量的常义积分
1. 含参变量的积分的概念
2. 含参变量的积分的连续性
3. 含参变量的积分的微分运算
4. 含参变量的积分的积分运算
习题
§2. 含参变量的反常积分
1. 反常积分对参变量的一致收敛性
2. 反常积分中的极限运算与含参变量的反常积分的连续性
3. 含参变量的反常积分的微分运算
4. 含参变量的反常积分的积分运算
习题
§3. 欧拉积分
1. β函数
2. Γ函数
3. β函数与Γ函数之间的联系
4. 实例
习题
§4. 函数的卷积和广义函数的初步知识
1. 物理问题中的卷积(启发式讨论)
2. 卷积的一些一般性质
3. δ 型函数族与魏尔斯特拉斯逼近定理
*4. 分布的初步概念
习题
§5. 含参变量的重积分
1. 含参变量的常义重积分
2. 含参变量的反常重积分
3. 具有变奇异性的反常积分
*4. 高维情形下的卷积、广义函数和基本解
习题
第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换
§1. 与傅里叶级数有关的一些主要的一般概念
1. 正交函数系
2. 傅里叶系数和傅里叶级数
*3. 数学分析中的正交函数系的一个重要来源
习题
§2. 傅里叶三角级数
1. 经典傅里叶级数收敛性的基本形式
2. 傅里叶三角级数逐点收敛性的研究
3. 函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度
4. 三角函数系的完备性
习题
§3. 傅里叶变换
1. 函数的傅里叶积分表达式
2. 函数的微分性质和渐近性质与它的傅里叶变换之间的相互关系
3. 傅里叶变换的最重要的运算性质
4. 应用实例
习题
第十九章 渐近展开式
§1. 渐近公式和渐近级数
1. 基本定义
2. 渐近级数的一般知识
3. 渐近幂级数
习题
§2. 积分的渐近法(拉普拉斯方法)
1. 拉普拉斯方法的思路
2. 拉普拉斯积分的局部化原理
3. 一些典型积分和它们的渐近式
4. 拉普拉斯积分的渐近式主项
*5. 拉普拉斯积分的渐近展开式
习题
单元测试题
考试大纲
期末考试试题
期中测试题
附录一初论级数工具
附录二多重积分中的变量代换(公式推导和初步讨论)
附录三高维几何学与自变量极多的函数(测度聚集与大数定律)
附录四多元函数与微分形式及其热力学解释
附录五曲线坐标系中的场论算子
附录六现代牛顿{莱布尼茨公式与数学的统一(总结)
参考文献
基本符号
名词索引
人名译名对照表
译后记
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