内容简介

本书通过大量丰富的实例，帮助读者从基本的常微分方程向更多高级概念(偏微分方程、傅里叶级数和边界值问题等)顺利过渡。作者轻松的语言风格使得书中的材料通俗易懂，尤其适合那些渴望了解更多和更深微积分知识的读者。

本书强调理论与实践相结合，介绍了大量偏微分方程在工程和物理学方面的应用，并且提供了相关数学证明和偏微分方程的原理。此外，本书的每一节后都配备了大量的习题，并提供了注释、图标或重要的公式等，突出了书中的重点与难点，方便读者自学。

本书提倡读者利用计算机辅助学习，旨在使读者更直观，更清晰地理解和掌握书中所讲述的题材。读者可以利用从作者网站上下载的Mathematica文件进行上机实践。

本书系统讲解偏微分方程及其定解问题的求解方法，通过大量实例讨论微分方程解的性质，特别强调傅里叶级数在求解边值问题中的作用。书中配有丰富的例题与习题，还采用“专题问题”较为系统地研究某个具体问题，补充和扩展了正文内容。

本书内容丰富、推导严密，包含大量物理背景，为理解和掌握偏微分方程提供了有效途径。本书可作为高等院校数学及相关专业学生的偏微分方程课程教材，同时也可作为工程技术人员、科技工作者的参考书。

作品目录

译者序

前言

有用的公式

第1章 应用与方法概述

1.1什么是偏微分方程

1.2求解并解释偏微分方程

第2章 傅里叶级数

2.1周期函数

2.2傅里叶级数

2.3以任意数为周期的函数的傅里叶级数

2.4半幅展开：余弦级数和正弦级数

2.5均方逼近和帕塞瓦尔恒等式

2.6傅里叶级数的复数形式

2.7受迫振动

2.8傅里叶级数表示定理的证明

2.9一致收敛性和傅里叶级数

2.10狄利克雷判别法和傅里叶级数收敛性

第3章 直角坐标中的偏微分方程

3.1物理学和工程技术中的偏微分方程

3.2建模：弦振动和波动方程

3.3一维波动方程的求解：分离变量法

3.4达朗贝尔方法

3.5一维热传导方程

3.6棒中的热传导：各种边界条件

3.7二维波动方程和热传导方程

3.8直角坐标中的拉普拉斯方程

3.9泊松方程：特征函数展开法

3.10诺伊曼条件和罗宾条件

3.11最大值原理

第4章 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程

4.1各个坐标系中的拉普拉斯算子

4.2圆形膜的振动：对称情况

4.3圆形膜的振动：一般情况

4.4圆域中的拉普拉斯方程

4.5圆柱体中的拉普拉斯方程

4.6亥姆霍兹方程和泊松方程

4.7贝塞尔方程和贝塞尔函数

4.8贝塞尔级数展开

4.9贝塞尔函数的积分公式和渐近式

第5章 球面坐标中的偏微分方程

5.1问题和方法概述

5.2对称狄利克雷问题

5.3球面调和函数和一般狄利克雷问题

5.4亥姆霍兹方程及其对泊松方程、热传导方程和波动方程的应用

5.5勒让德微分方程

5.6勒让德多项式和勒让德级数展开

5.7相伴勒让德函数和相伴勒让德级数展开

第6章 施图姆-刘维尔理论及其在工程技术中的应用

6.1正交函数

6.2施图姆-刘维尔理论

6.3悬链

6.4四阶施图姆-刘维尔理论

6.5梁的弹性振动和屈曲

6.6双调和算子

6.7圆盘的振动

第7章 傅里叶变换及其应用

7.1傅里叶积分表示

7.2傅里叶变换

7.3傅里叶变换法

7.4热传导方程和高斯核

7.5狄利克雷问题和泊松积分公式

7.6傅里叶余弦变换和正弦变换

7.7半无限区间上的问题

7.8广义函数

7.9非齐次热传导方程

7.10杜阿梅尔原理

第8章 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用

8.1拉普拉斯变换

8.2拉普拉斯变换的进一步性质

8.3拉普拉斯变换法

8.4汉克尔变换及其应用

第9章 有限差分数值方法

9.1热传导方程的有限差分法

9.2波动方程的有限差分法

9.3拉普拉斯方程的有限差分法

9.4拉普拉斯方程的迭代法

第10章 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用

10.1抽样定理

10.2偏微分方程与抽样定理

10.3离散傅里叶变换与快速傅里叶变换

10.4傅里叶变换与离散傅里叶变换

第11章 量子力学引论

11.1薛定谔方程

11.2氢原子

11.3海森伯格不定性原理

11.4埃尔米特多项式和拉盖尔多项式

第12章 格林函数和共形映射

12.1格林定理和恒等式

12.2调和函数和格林恒等式

12.3格林函数

12.4圆盘和上半平面的格林函数

12.5解析函数

12.6利用共形映射求解狄利克雷问题

12.7格林函数与共形映射

12.8诺伊曼函数和诺伊曼问题的解

附录A 常微分方程：概念和方法的回顾

附录B 变换表

参考文献

部分习题答案

索引