内容简介

本书是一本经典的数论名著，取材于作者在牛津大学、剑桥大学等大学授课的讲义。主要包括素数理论、无理数、费马定理、同余式理论、连分数、用有理数逼近无理数、不定方程、二次域、算术函数、数的分划等内容。每章章末都提供了相关的附注，书后还附有译者编写的相关内容的最新进展，便于读者进一步学习。.

本书可供数学专业高年级学生、研究生、大学老师以及对数论感兴趣的专业读者学习参考。

作品目录

第1章　素数(1)　1

1.1　整除性　1

1.2　素数　2

1.3　算术基本定理的表述　3

1.4　素数序列　4

1.5　关于素数的某些问题　5

1.6　若干记号　6

1.7　对数函数　8

1.8　素数定理的表述　9

本章附注　10

第2章　素数(2)　11

2.1　Euclid第二定理的第一个证明　11

2.2　Euclid方法的推论　11

2.3　某种算术级数中的素数　12

2.4　Euclid定理的第二个证明　13

2.5　Fermat数和Mersenne数　14

2.6　Euclid定理的第三个证明　16

2.7　关于素数公式的进一步结果　17

2.8　关于素数的未解决的问题　18

2.9　整数模　19

2.10　算术基本定理的证明　20

2.11　基本定理的另一个证明　21

本章附注　21

第3章　Farey数列和Minkowski定理　23

3.1　Farey数列的定义和最简单的性质　23

3.2　两个特征性质的等价性　24

3.3　定理28和定理29的第一个证明　25

3.4　定理28和定理29的第二个证明　25

3.5　整数格　26

3.6　基本格的某些简单性质　27

3.7　定理28和定理29的第三个证明　29

3.8　连续统的Farey分割　29

3.9　Minkowski定理　30

3.10　Minkowski定理的证明　32

3.11　定理37的进一步拓展　33

本章附注　35

第4章　无理数　37

4.1　概论　37

4.2　已知的无理数　38

4.3　Pythagoras定理及其推广　38

4.4　基本定理在定理43至定理45证明中的应用　40

4.5　历史杂谈　41

4.6　sqrt5无理性的几何证明　42

4.7　更多的无理数　43

本章附注　45

第5章　同余和剩余　47

5.1　最大公约数和最小公倍数　47

5.2　同余和剩余类　48

5.3　同余式的初等性质　49

5.4　线性同余式　50

5.5　Euler函数φ(m)　52

5.6　把定理59和定理61应用到三角和中　54

5.7　一个一般性的原理　57

5.8　正十七边形的构造　58

本章附注　62

第6章　Fermat定理及其推论　64

6.1　Fermat定理　64

6.2　二项系数的某些性质　65

6.3　定理72的第二个证明　67

6.4　定理22的证明　67

6.5　二次剩余　68

6.6　定理79的特例：Wilson定理　70

6.7　二次剩余和非剩余的初等性质　71

6.8　a(mod m)的阶　73

6.9　Fermat定理的逆定理　74

6.10　2p-1-1是否能被p2整除　75

6.11　Gauss引理和2的二次特征　76

6.12　二次互倒律　79

6.13　二次互倒律的证明　81

6.14　素数的判定　82

6.15　Mersenne数的因子和Euler定理　84

本章附注　84

第7章　同余式的一般性质　86

7.1　同余式的根　86

7.2　整多项式和恒等同余式　86

7.3　多项式(mod m)的整除性　88

7.4　素数模同余式的根　88

7.5　一般定理的某些应用　90

7.6　Fermat定理和Wilson定理的Lagrange证明　92

7.7　[1/2( p–1)]!的剩余　93

7.8　Wolstenholme定理　94

7.9　von Staudt定理　95

7.10　von Staudt定理的证明　97

本章附注　99

第8章　复合模的同余式　100

8.1　线性同余式　100

8.2　高次同余式　102

8.3　素数幂模的同余式　102

8.4　例子　104

8.5　Bauer的恒等同余式　105

8.6　Bauer的同余式：p=2的情形　107

8.7　Leudesdorf的一个定理　108

8.8　Bauer定理的进一步的推论　110

8.9　2p-1和(p-1)!关于模p2的同余式　112

本章附注　114

第9章　用十进制小数表示数　115

9.1　与给定的数相伴的十进制小数　115

9.2　有限小数和循环小数　118

9.3　用其他进位制表示数　119

9.4　用小数定义无理数　120

9.5　整除性判别法　122

9.6　有最大周期的十进制小数　122

9.7　Bachet的称重问题　123

9.8　Nim博弈　125

9.9　缺失数字的整数　127

9.10　测度为零的集合　128

9.11　缺失数字的十进制小数　130

9.12　正规数　131

9.13　几乎所有的数都是正规数的证明　133

本章附注　136

第10章　连分数　137

10.1　有限连分数　137

10.2　连分数的渐近分数　138

10.3　商为正的连分数　139

10.4　简单连分数　140

10.5　用简单连分数表示不可约有理分数　141

10.6　连分数算法和Euclid算法　143

10.7　连分数与其渐近分数的差　145

10.8　无限简单连分数　147

10.9　用无限连分数表示无理数　148

10.10　一个引理　150

10.11　等价的数　151

10.12　周期连分数　154

10.13　某些特殊的二次根式　156

10.14　Fibonacci数列和Lucas数列　158

10.15　用渐近分数作逼近　161

本章附注　165

第11章　用有理数逼近无理数　166

11.1　问题的表述　166

11.2　问题的推广　167

11.3　Dirichlet的一个论证方法　168

11.4　逼近的阶　170

11.5　代数数和超越数　171

11.6　超越数的存在性　172

11.7　Liouville定理和超越数的构造　173

11.8　对任意无理数的最佳逼近的度量　175

11.9　有关连分数的渐近分数的另一个定理　176

11.10　具有有界商的连分数　177

11.11　有关逼近的进一步定理　180

11.12　联立逼近　182

11.13　e的超越性　182

11.14　π的超越性　186

本章附注　189

第12章　k(1), k(i), k(p)zhongde算术基本定理

12.1　代数数和代数整数　191

12.2　有理整数、Gauss整数和k(p)中的整数　191

12.3　Euclid算法　193

12.4　将Euclid算法应用到k(1)中的基本定理　193

12.5　关于Euclid算法和基本定理的历史注释　195

12.6　Gauss整数的性质　195

12.7　k(i)中的素元　197

12.8　k(i)中的算术基本定理　199

12.9　k(p)中的整数　201

本章附注　204

第13章　某些Diophantus方程　205

13.1　Fermat大定理　205

13.2　方程x2+y2=z2　205

13.3　方程x4+y4=z4　206

13.4　方程x3+y3=z3　208

13.5　方程x3+y3=3z3　211

13.6　用有理数的三次幂之和表示有理数　213

13.7　方程x3+y3+z3=t3　215

本章附注　218

第14章　二次域(1)　220

14.1　代数数域　220

14.2　代数数和代数整数, 本原多项式　221

14.3　一般的二次域k(√m 222

14.4　单位和素元　223

14.5　k(√2）中的单位　225

14.6　基本定理不成立的数域　227

14.7　复Euclid域　228

14.8　实Euclid域　230

14.9　实Euclid域(续)　232

本章附注　234

第15章　二次域(2)　235

15.1　k(i)中的素元　235

15.2　k(i)中的Fermat定理　236

15.3　k(o)中的素元　237

15.4　k(sqrt 2)和k(sqrt 5)中的素元　238

15.5　Mersenne数M4n+3的素性的Lucas判别法　241

15.6　二次域算术上的一般性注释　243

15.7　二次域中的理想　244

15.8　其他的域　247

本章附注　248

第16章　算术函数φ(n),μ(n),d(n),σ(n),r(n)　249

16.1　函数φ(n)　249

16.2　定理63的进一步证明　250

16.3　Moius函数　250

16.4　Moius反转公式　252

16.5　进一步的反转公式　253

16.6　Ramanujan和的估计　253

16.7　函数d(n)和σk(n)　255

16.8　完全数　256

16.9　函数r(n)　257

16.10　r(n)公式的证明　258

本章附注　259

第17章　算术函数的生成函数　261

17.1　由Dirichlet级数生成算术函数　261

17.2　ζ函数　262

17.3　ζ(s)在s→1时的性状　263

17.4　Dirichlet级数的乘法　265

17.5　某些特殊算术函数的生成函数　267

17.6　Moius公式的解析说明　268

17.7　函数A(n)　271

17.8　生成函数的进一步例子　273

17.9　r(n)的生成函数　274

17.10　其他类型的生成函数　275

本章附注　277

第18章　算术函数的阶　279

18.1　d(n)的阶　279

18.2　d(n)的平均阶　282

18.3　σ(n)的阶　285

18.4　φ(n)的阶　286

18.5　φ(n)的平均阶　287

18.6　无平方因子数的个数　288

18.7　r(n)的阶　289

本章附注　291

第19章　分划　292

19.1　加性算术的一般问题　292

19.2　数的分划　292

19.3　p(n)的生成函数　293

19.4　其他的生成函数　295

19.5　Euler的两个定理　296

19.6　进一步的代数恒等式　298

19.7　F(x)的另一个公式　299

19.8　Jacobi定理　300

19.9　Jacobi恒等式的特例　302

19.10　定理353的应用　304

19.11　定理358的初等证明　305

19.12　p(n)的同余性质　306

19.13　Rogers-Ramanujan恒等式　308

19.14　定理362和定理363的证明　310

19.15　Ramanujan连分数　312

本章附注　314

第20章　用两个或四个平方和表示数　316

20.1　Waring问题：数g(k)和G(k)　316

20.2　平方和　317

20.3　定理366的第二个证明　318

20.4　定理366的第三个和第四个证明　319

20.5　四平方定理　320

20.6　四元数　322

20.7　关于整四元数的预备定理　324

20.8　两个四元数的最高右公约数　326

20.9　素四元数和定理370的证明　327

20.10　g(2)和G(2)的值　329

20.11　定理369的第三个证明的引理　329

20.12　定理369的第三个证明：表法个数　330

20.13　用多个平方和表示数　333

本章附注　334

第21章　用立方数以及更高次幂,表示数　336

21.1　四次幂　336

21.2　三次幂：G(3)和g(3)的存在性　337

21.3　g(3)的界　338

21.4　更高次幂　339

21.5　g(k)的一个下界　340

21.6　G(k)的下界　341

21.7　受符号影响的和：数v(k)　344

21.8　v(k)的上界　345

21.9　Prouhet-Tarry问题：数P(k,j)　347

21.10　对特殊的k和j, P(k,j)的估计　349

21.11　Diophantus分析的进一步问题　351

本章附注　354

第22章　素数(3)　360

22.1　函数θ(x)和ψ(x)　360

22.2　θ(x)和ψ(x)的阶为x的证明　361

22.3　Bertrand假设和一个关于素数的“公式”　363

22.4　定理7和定理9的证明　366

22.5　两个形式变换　367

22.6　一个重要的和　368

22.7　∑p-1与∏(1–p-1) 370

22.8　Mertens定理　372

22.9　定理323和定理328的证明　374

22.10　n的素因子个数　376

22.11　ω(n)和Ω(n)的正规阶　377

22.12　关于圆整数的一个注解　379

22.13　d(n)的正规阶　380

22.14　Selberg定理　381

22.15　函数R(x)和V(ξ)　383

22.16　定理434、定理6和定理8证明的完成　386

22.17　定理335的证明　389

22.18　k个素因子的乘积　389

22.19　区间中的素数　392

22.20　关于素数对p,p+2分布的一个猜想　393

本章附注　395

第23章　Kronecker定理　397

23.1　一维的Kronecker定理　397

23.2　一维定理的证明　398

23.3　反射光线的问题　400

23.4　一般定理的表述　402

23.5　定理的两种形式　403

23.6　一个例证　405

23.7　Kronecker定理的Lettenmeyer证明　405

23.8　Kronecker定理的Estermann证明　407

23.9　Kronecker定理的Bohr证明　409

23.10　一致分布　411

本章附注　413

第24章　数的几何　414

24.1　基本定理的导引和重新表述　414

24.2　简单的应用　415

24.3　定理448的算术证明　417

24.4　最佳不等式　419

24.5　关于ξ2+ξ2的最佳不等式　420

24.6　关于ξ2+η2 的最佳不等式　421

24.7　关于非齐次型的一个定理　423

24.8　定理455的算术证明　425

24.9　Tchebotaref定理　426

24.10　Minkowski定理(定理446)的逆定理　428

本章附注　432

附录　436

参考书目　438

特殊符号以及术语索引　441

常见人名对照表　444

总索引　446

补遗　457